«Множество есть объединение в одно целое элементов, хорошо различаемых нашей интуицией» — так в конце XIX в. писал один из создателей теории множеств великий немецкий математик Георг Кантор. Например, школьные отметки «единица», «двойка», «тройка», «четвёрка», «пятёрка» каждый из нас различает весьма отчётливо. Взятые вместе, все эти отметки образуют некоторое множество. Множество отметок — это {«единица», «двойка», «тройка», «четвёрка», «пятёрка»}. Если обозначить такое множество какой-то буквой, например А, названия отметок заменить цифрами, а оборот «… — это…» заменить знаком равенства, то получится вот что: А={1, 2, 3, 4, 5}.
Мы задали множество перечислением его элементов. Фигурные скобки в правой части написанного равенства позволяют не забыть, что перечисляемые элементы собраны воедино и образуют некоторое множество. Если множество состоит из небольшого числа элементов, то перечисление элементов — самый прямой и ясный способ задания множества.
Вот ещё несколько примеров. Если для домашней работы заданы упражнения 1.2, 1.3 и 1.7, то {1.2, 1.3, 1.7} — множество номеров домашних упражнений; для его обозначения можно выбрать любую букву. Если S — это множество, состоящее из трёх китов музыки, то S — {танец, песня, марш}. Если Y— это множество названий месяцев года, то Y = {январь, февраль, …, декабрь}. В последнем примере перечисление элементов немного сокращено. Многоточие «…» заменяет слова «и так далее» и подразумевает, что все всё правильно понимают и никто не будет настаивать на том, что после февраля идёт не «март», а, скажем, «каша».
Множества бывают конечные и бесконечные. Рассмотренные выше примеры — примеры конечных множеств. А вот множество всех натуральных чисел — бесконечное множество, его обозначают буквой N; N = {1, 2, 3, 4, …}.
Запись множества перечислением элементов — это математическая модель словесного описания множества. Математическая модель может быть одинаковой для ситуаций, которые на словах описываются по-разному.
Вместо длинного словесного оборота «элемент х принадлежит множеству X» («элемент х входит в состав множества X») в математике используют краткую запись: х ∈ X. ∈ — знак принадлежности; он образован от первой буквы слова element — элемент. А если хотят кратко записать, что «элемент х не принадлежит множеству X», то поступают так: х ∉ X.
Всякое множество состоит из элементов. Из этих элементов можно составлять иные множества, произвольно выбирая два каких-то элемента, три элемента и т. д. Будут получаться различные новые множества, их называют подмножествами заданного множества.
Проиллюстрировать понятие подмножества удобно рисунком, на котором множества А и Б — некоторые плоские фигуры. На рисунке 2а множество Б является подмножеством А, а на рисунке 2б — не является, так как в множестве В есть точки, которые не принадлежат А.
Часто в качестве плоских фигур для таких картинок используют круги, которые называют кругами Эйлера. Сами картинки называют диаграммами Эйлера.
С каждым подмножеством В множества А связано другое подмножество, которое «дополняет» В до всего А. Кратко говоря, надо из всего множества А «вырезать» подмножество В, то, что останется, и будет «дополнять» В до А.
